Պարաբոլիկ հավասարումներ
Պարաբոլիկ հավասարումներ, դիֆերենցիալ հավասարումների մասնավոր դաս։ Ոչ ստացիոնար գործընթացները նկարագրող հավասարումների մի տեսակներից։
Սահմանում
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Հաշվի առեք ֆունկցիայի մասշտաբային երկրորդ կարգի մասնակի դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր ձևը։ Դիտարկենք սկալարային դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր տեսքը, մասնավորապես՝ ֆունկցիայի նկատմամբ երկրորդ կարգի ածանցյալ ։
Ընդ որում հավասարումը գրված է սիմետրիկ տեսքով, այսինքն՝ ։ Այդ դեպքում հավասարմանը համարժեք քառակուսի ձևի տեսքի հավասարումը կլինի․
- ,
որտեղ .
A մատրիցան կոչվում է հիմնական գործակիցի մատրիցա։
Եթե ստացված ձևի արժեքն է (n-1,0), այսինքն ՝ A մատրիցան ունի մեկ սեփական արժեք, որը հավասար է զրոյի և n-1-ի, սեփական արժեքներն ունեն նույն նշանը, ապա հավասարումը կոչվում է պարաբոլիկ տիպի[1]։
Մեկ այլ, համարժեք սահմանում. Հավասարումը կոչվում է պարաբոլիկ, եթե այն կարող է ներկայացվել հետևյալ տեսքով․
- ,
որտեղ։ — էլիպսային օպերատոր, .
Պարաբոլիկ հավասարումների լուծում
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Միակ լուծումը գտնելու համար հավասարումը դիտարկվում է սկզբնական և սահմանային պայմանների հետ համատեղ։ Քանի որ երբ հավասարումը առաջին կարգի է, ապա սկզբնական պայմանը դրվում է որոնելի ֆունկցիայի վրա։
- Պարաբոլիկ ինչպես նաև վերացական պարաբոլիկ հավասարումների լուծումներ գտնելու համար, կարող են կիրառվել օպերատորների կիսախմբի տեսությունը։
- Անսահման տիրույթում պարաբոլիկ հավասարումների (Կոշիի խնդիրը պարաբոլիկ հավասարման համար) վերլուծական լուծման համար օգտագործվում է հատուկ ինտեգրալ բանաձև[2]։
- Սահմանափակ տիրույթում պարաբոլիկ հավասարումների վերլուծական լուծման համար կարող է օգտագործվել Ֆուրյեի փոփոխական բաժանում մեթոդը։
- Պարաբոլիկ հավասարումների թվային լուծման համար օգտագործվում են վերջավոր տարրերի մեթոդը, վերջավոր տարբերությունների մեթոդը, վերջավոր ծավալի մեթոդը, ինչպես նաև դրանց համակցությունները և լուծվող խնդրին հարմար թվային այլ մեթոդներ։
Առավելագույն սկզբունքը
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Պարաբոլիկ հավասարման նշված տեսքի համար
Լուծումները ընդունում են իրնց մեծագույն արժեքները երբ , կամ տրույթի սահմանին։
Պարաբոլիկ հավասարումների օրինակներ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]- Կոնվեկցիայի և դիֆուզիոն գործընթացները նկարագրող հավասարումներ, ներառյալ դիֆուզիոն հավասարումը և դրա հատուկ դեպքը՝ ջերմահաղորդման հավասարումը։
- Նավիե-Ստոքսի հավասարումների համակարգը, որը նկարագրում է հեղուկների և գազերի շարժը, որը հանդիսանում է տարաբնույթ սահմանափակումներով պարաբոլիկ հավասարումների համակարգ։
- Մաքսվելի հավասարումներից, կարելի է ստանալ կամ [3] վեկտորների նկատմամբ պարաբոլիկ հավասարումներ։
Ծանոթագրություններ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]- ↑ Тихонов А.Н, Самарский А.А. Уравнения математической физики (5-е изд.).. — Москва: Наука, 1977.
- ↑ Л.К. Мартинсон, Ю.И. Малов Дифференциальные уравнения математической физики. — Москва: МГТУ имени Н.Э. Баумана, 2002. — 368 с. — ISBN 5-7038-1270-4
- ↑ Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Персова М.Г. Метод конечных элементов для скалярных и векторных задач. — Новосибирск: НГТУ, 2007. — 896 с. — ISBN 978-5-7782-0749-9